Lectura – Multiplicación y división de fracciones algebraicas mixtas: Reglas y ejemplos

Una fracción algebraica mixta es aquella en la que tenemos polinomios enteros y cocientes de polinomios. Estas fracciones pueden ser multiplicadas y divididas siguiendo ciertas reglas. Veamos cada operación por separado:

Multiplicación de fracciones algebraicas mixtas:

Analicemos el caso de la multiplicación de las siguientes fracciones mixtas

left(2+frac{2}{x+1}right)left(3-frac{6}{x+2}right)left(1+frac{1}{x}right)

Factoriza los numeradores y denominadores de las fracciones tanto como sea posible. Simplifica si es posible cancelando factores comunes en el numerador de una fracción con el denominador de la otra.

En este caso no hay una factorización más sencilla, por lo que vamos a multiplicar la parte entera por los denominadores para pasar a una fracción común en cada uno.

left(frac{2x+2+2}{x+1}right)left(frac{3x+6-6}{x+2}right)left(frac{x+1}{x}right)= left(frac{2x+4}{x+1}right)left(frac{3x}{x+2}right)left(frac{x+1}{x}right)

Si es necesario, simplifica la fracción resultante, factorizando nuevamente y cancelando factores comunes.

left(frac{2(x+2)}{x+1}right)left(frac{3x}{x+2}right)left(frac{x+1}{x}right)

Entonces, realizamos la multiplicación de las fracciones, como se acostumbra, simplificando hasta su mínima expresión

frac{2(x+2)(3)(x)(x+1)}{(x+1)(x+2)(x)}=6

División de fracciones algebraicas mixtas:

Para dividir fracciones algebraicas mixtas, se sigue un procedimiento similar al de la multiplicación, pero con una diferencia clave: en lugar de multiplicar directamente, se invierte la segunda fracción y luego se realiza una multiplicación. Es decir, la división de fracciones se convierte en una multiplicación de fracciones, donde se multiplica por el inverso de la segunda fracción.

Veamos un ejemplo para clarificar el proceso: Consideremos las fracciones algebraicas mixtas

left(x+frac{1}{x+2}right)divleft(1+frac{3}{x^2-4}right)

De nuevo, no hay más factorizaciones, por lo que solo escribimos cada fracción mixta como fracción común y agrupamos términos semejantes:

left(frac{x^2+2x+1}{x+2}right)divleft(frac{x^2-4+3}{x^2-4}right)= left(frac{x^2+2x+1}{x+2}right)divleft(frac{x^2-1}{x^2-4}right)

Si es necesario, simplifica la fracción resultante, factorizando nuevamente y cancelando factores comunes.

left(frac{(x+1)^2}{x+2}right)divleft(frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}right)

Una vez que hemos factorizado y reducido las fracciones, invertimos la segunda fracción para después hacer una multiplicación de fracciones:

left(frac{(x+1)^2}{x+2}right)divleft(frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}right)= left(frac{(x+1)^2}{x+2}right)left(frac{(x-2)(x+2)} {(x-1)(x+1)}right)=frac{(x+1)^2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)}

Reducimos hasta su mínima expresión y encontramos el resultado

frac{(x+1)^2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)}= )=frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)}=frac{x^2-x-2}{x-1}