Actividad – Factoriales y coeficientes binomiales

El teorema del binomio, también conocido como Binomio de Newton, es una forma alternativa al uso del triángulo de Pascal para desarrollar un binomio con potencia entera positiva.

Para formular el teorema es conveniente usar la notación factorial y de coeficientes binomiales ya que permiten expresar en forma breve operaciones complejas.

El factorial de un número entero es igual al producto de todos los enteros desde 1 hasta él y se simboliza como

n!=1 cdot 2 cdot 3 cdot … cdot n

Los factoriales de cero y uno son iguales a la unidad

0!=1, 1!=1

También podemos expresar el factorial de un número en términos de su antecesor como

n!=n cdot (n-1)!

Un coeficiente binomial consta de dos enteros, uno principal (n) y otro secundario (m) y puede escribirse como binom{n}{m} o _nC_m y se define a través de la siguiente operación con factoriales

begin{equation} binom{n}{m}= _nC_m=frac{n!}{m! cdot (n-m)!} end{equation}

Los coeficientes binomiales cumplen una propiedad de simetría cuando el número secundario k se reemplaza por n-k , conservando el mismo número principal n

begin{equation} binom{n}{k}=binom{n}{n-k} end{equation}

Este resultado es visible en el triángulo de Pascal ya que el primero y último coeficientes son iguales a uno, el segundo y penúltimo son iguales a la potencia del binomio, etcétera

begin{equation} binom{n}{0}=binom{n}{n}=1 end{equation} begin{equation} binom{n}{1}=binom{n}{n-1}=n end{equation}

Ejemplo 1: Calcula los coeficientes binomiales _5C_0 y _5C_5

De acuerdo con la ecuación (3) ambos coeficientes valen lo mismo. Para comprobarlo usemos la definición de coeficiente binomial dado por la ecuación (1)

_5C_0=frac{5!}{0! cdot (5-0)!} = frac{5!}{1 cdot 5!} = 1 _5C_5=frac{5!}{5! cdot (5-5)!} = frac{5!}{5! cdot 0!} = 1

donde hemos cancelado los de factoriales 5 por estar uno arriba y otro abajo. Hemos verificado la ecuación (3) para n=5

_5C_0 = _5C_5 = 1

Ejemplo 2: Determina el valor de los siguientes coeficientes binomiales binom{10}{3} y binom{10}{7}

Tomando n=10 y k=3 en la ecuación (2) obtenemos binom{10}{3} = binom{10}{10-3} = binom{10}{7} , por lo que ambos coeficientes valdrán lo mismo. Usando la ecuación (1) tenemos

binom{10}{3}=frac{10!}{3! cdot 7!}

Ahora podemos sacar del factorial de 10 los factores 10, 9 y 8 para cancelar el factorial de 7. Por la definición de factorial

10!= 10 cdot 9! = 10 cdot 9 cdot 8! = 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7!

Enseguida expandimos el factorial de 3 en el denominador del coeficiente binomial

3!= 3 cdot 2 cdot 1

para obtener

binom{10}{3}=frac{10 cdot 9 cdot 8 cdot 7!}{1 cdot 2 cdot 3 cdot 7!} = 120

donde cancelamos el factorial de 7 arriba y abajo. Por lo tanto

binom{10}{3}=binom{10}{7} = 120