Lectura – Área del triángulo por fórmula de Herón
¿Qué es la fórmula de Herón?
La fórmula de Herón es un método utilizado para calcular el área de un triángulo en función de las longitudes de sus lados. Fue desarrollada por el matemático griego Herón de Alejandría.
Para utilizar la fórmula de Herón en geometría analítica, necesitamos conocer las coordenadas de los vértices del triángulo. Supongamos que tenemos un triángulo con vértices A(x_1, y_1) , B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3) .
El primer paso es calcular las longitudes de los lados del triángulo. Podemos utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos para esto. La distancia entre dos puntos P_1(x_1, y_1) y P_2(x_2, y_2) se calcula utilizando la fórmula:
d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}Aplicando esta fórmula, podemos calcular las longitudes de los lados del triángulo:
begin{matrix}
a = overline{AB} = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\ \
b = overline{BC} = sqrt{(x_3 – x_2)^2 + (y_3 – y_2)^2}\ \
c = overline{CA} = sqrt{(x_1 – x_3)^2 + (y_1 – y_3)^2}end{matrix}
Una vez que tenemos las longitudes de los lados, podemos utilizar la fórmula de Herón para calcular el área A del triángulo. La fórmula es la siguiente:
A = sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}donde s es el semiperímetro del triángulo, y se calcula de la siguiente manera:
s = frac{a + b + c}{2}¿Cómo se podría aplicar?
Supongamos que tenemos un triángulo con los siguientes vértices:
begin{matrix}
A(1, 1)\ \
B(4, 5)\ \
C(7, 2)end{matrix}
Calculamos las longitudes de los lados del triángulo:
begin{matrix}
a=sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=sqrt{(3)^2+(4)^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5\ \
b=sqrt{(7-4)^2+(2-5)^2}=sqrt{(3)^2+(-3)^2}=sqrt{9+9}=sqrt{18}approx 4.24\ \
b=sqrt{(1-7)^2+(1-2)^2}=sqrt{(-6)^2+(-1)^2}=sqrt{36+1}=sqrt{37}approx 6.08end{matrix}
Calculamos el semiperímetro del triángulo:
s = frac{a + b + c}{2} = frac{5 + 4.24 + 6.08}{ 2} = 7.66Aplicamos la fórmula de Herón para calcular el área:
A = sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = sqrt{7.66(7.66 - 5)(7.66 - 4.24)(7.66 - 6.08)} approx 10.49Por lo tanto, el área del triángulo con vértices A(1, 1), B(4, 5) y C(7, 2) es aproximadamente 10.49 unidades cuadradas.