Lectura – Breve recordatorio de operaciones con polinomios

Las operaciones básicas con polinomios algebraicos incluyen la reducción de términos semejantes, suma, resta, multiplicación y división. Aquí tienes ejemplos de cada una de ellas:

Reducción de términos semejantes: Suma y Resta

La reducción de términos semejantes en polinomios es el proceso de combinar términos que tienen la misma variable y exponente. Aquí hay un algoritmo paso a paso:

Supongamos que tienes un polinomio:

P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0

1. Escribe el polinomio en forma estándar:

   Asegúrate de que el polinomio esté organizado en orden descendente según los exponentes de la variable. Es decir, el término con el exponente más alto debería ir primero.

   Por ejemplo, si tienes 3x^2 + 2x - 5 + 4x^2 - x + 7 , organízalo como 4x^2 + 3x^2 - x + 2x - 5+7 .

2. Combina los Coeficientes de los Términos Semejantes:

   Combina los coeficientes de los términos que tienen la misma variable y exponente. Esto implica sumar o restar los coeficientes.

4x^2 + 3x^2=7x^2 \
-x+2x=x\
-5+7=2

3. Ordena el Polinomio Resultante:

   Organiza nuevamente el polinomio resultante en orden descendente según los exponentes.

    7x^2 + x + 2

Entonces, el polinomio 3x^2 + 2x - 5 + 4x^2 - x + 7 se reduce a 7x^2 + x + 2 después de combinar los términos semejantes.

Multiplicación

El algoritmo para la multiplicación de polinomios utiliza la propiedad distributiva. Aquí están los pasos generales:

1. Escribe los dos polinomios uno al lado del otro.

Por ejemplo, para (2x - 3)(3x + 4), escribiríamos:

begin{align*}

   &quad (2x - 3) \

   &times (3x + 4) \

   end{align*}

2. Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.

begin{align*}

   &quad 2x(3x + 4) - 3(3x + 4) \

   end{align*}

3. Simplifica combinando términos semejantes.

begin{align*}

   &quad 6x^2 + 8x - 9x - 12 \

   &= 6x^2 - x - 12

   end{align*}

División

La división de polinomios se realiza generalmente mediante la división larga o la regla de Ruffini. Aquí está el algoritmo básico usando la regla de Ruffini:

1. Escribe el polinomio divisor y el polinomio dividendo.

Dividamos el polinomio 4x^3 - 5x^2 + 2x - 8 entre el polinomio 2x + 4.

begin{array}{c|ccccc}
  \
   hline
   2x +4 & 4x^3 & -5x^2 & +2x & -8 \
   end{array}

2. Divide el término líder del dividendo por el término líder del divisor.

frac{4x^3}{2x} = 2x^2 . Coloca el resultado, llamado cociente sobre el término líder del dividendo.

   begin{array}{c|ccccc}
   & 2x^2\
   hline
   2x + 4 & underline{4x^3} & -5x^2 & +2x & -8 \
   end{array}
   

3. Multiplica el divisor por el cociente y réstalo del dividendo.

begin{array}{c|ccccc}
   & 2x^2 \
   hline
   2x + 4 & underline{4x^3} & -5x^2 & +2x & -8 \
   & -4x^3 & -8x^2 \
   & underline{0} & -13x^2 & +2x &-8 \
   end{array}

4. Repite los pasos 2 y 3 hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

Continúa el proceso hasta que obtengas un residuo de grado menor que el divisor. El cociente final es la respuesta, y el residuo se coloca sobre el divisor.

begin{array}{c|ccccc}
   & 2x^2 & -frac{13}{2}x& +14\
   hline
   2x + 4 & underline{4x^3} & -5x^2 & +2x & -8 \
   & -4x^3 & -8x^2 \
   & underline{0} & -13x^2 & +2x \
   & & +13x^2 & +26x \
   & & underline{0} & +28x & -8 \
 & & & -28x&-56 \
   & & & underline{0} & -64 \
   end{array}

Entonces, la división completa es 2x^2 - frac{13}{2}x+14 con un residuo de -64 .

Leyes de los exponentes aplicadas a polinomios

Las leyes de los exponentes también se aplican a polinomios, ya que los polinomios son simplemente expresiones algebraicas formadas por términos con exponentes.

1. Multiplicación de Potencias de la Misma Base:

    a^n cdot a^m = a^{n+m}

   Esto se aplica a términos con la misma base elevados a diferentes exponentes. Por ejemplo:

    x^3 cdot x^4 = x^{3+4} = x^7

2. División de Potencias de la Misma Base:

    frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

   Si tienes términos con la misma base en un cociente, puedes restar los exponentes. Por ejemplo:

    frac{x^6}{x^3} = x^{6-3} = x^3

3. Potencia de una Potencia:

    (a^n)^m = a^{n cdot m}

   Esto significa que cuando elevas una potencia a otra potencia, multiplicas los exponentes. Por ejemplo:

    (x^2)^3 = x^{2 cdot 3} = x^6

4. Multiplicación de Potencias con Diferente Base pero Mismos Exponentes:

    a^n cdot b^n = (ab)^{n}

Si tienes términos con diferente base, pero exponentes iguales y los multiplicas, mantén el exponente y multiplica las bases. Por ejemplo:

    4^4 cdot 2^4 = (4cdot 2)^{4} = 8^4

5. División de Potencias con Diferente Base pero Mismos Exponentes:

    frac{a^n}{b^n} = left(frac{a}{b}right)^n

Si tienes términos con diferente base, pero exponentes iguales y los divides, mantén el exponente y divide las bases. Por ejemplo:

    frac{15^6}{5^6} = left(frac{15}{5}right)^6 = 3^6