Lectura – Factorización de suma y diferencia de potencias iguales

¿Cuáles son las reglas para factorizar una suma o diferencia de potencias iguales?

La factorización de suma y diferencia de potencias iguales es un proceso algebraico que nos permite simplificar expresiones que contienen términos con potencias iguales, ya sea en suma o en resta. Esta regla se basa en identidades algebraicas específicas y puede ser útil para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones.

A pesar de que es una herramienta genial, contamos con algunas reglas que nos ayudan a entender su funcionamiento

1. a^n-b^n es divisible por a-b siendo n par o impar
2. a^n+b^n es divisible por a+b siendo n impar
3. a^n-b^n es divisible por a+b siendo n par
4. a^n+b^n nunca es divisible por a-b

¿Cómo podemos factorizar una suma o diferencia de potencias iguales?

Regla de factorización de suma de potencias iguales impares:

(a^n + b^n) = (a + b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - ... + b^{n-1})

Ejemplo:

begin{matrix}
m^5 + n^5 = (m+n)(m^{5-1} - m^{5-2}n + m^{5-3}(n)^2-m^{5-4}n^{3}+n^{4})\
= (m+n)(m^{4} - m^{3}n + m^{2}n^{2}-mn^{3}+n^{4})
end{matrix}

Regla de factorización de diferencia de potencias iguales:

(a^n - b^n) = (a -b) (a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1})

Ejemplo:

begin{matrix}
y^{5} - 1 = (y - 1)(y^{5-1} + y^{5-2}(1) + y^{5-3}(1)^2+ y^{5-4}(1)^3+ y^{5-5}(1)^4)\
= (y -1)(y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1)
end{matrix}