Lectura – Simplificando fracciones algebraicas: de expresión fraccionaria a expresión entera o mixta

¿Cómo reducir una fracción a una expresión entera o mixta?

A veces, es conveniente simplificar o reducir una fracción a una expresión entera o mixta, lo que nos permite tener una representación más compacta y fácil de comprender. Al igual que las fracciones numéricas, podemos simplificar las fracciones algebraicas para obtener una expresión más compacta y fácil de manejar. En esta lectura, exploraremos cómo reducir una fracción algebraica a una expresión entera o mixta.

Para simplificar una fracción algebraica, buscamos factorizar tanto el numerador como el denominador y luego cancelar los factores comunes. Al hacerlo, reducimos la fracción a su forma más simple.

Si después de simplificar una fracción algebraica, el numerador es un múltiplo del denominador, podemos expresarla como un número entero; sin embargo, si el numerador de una fracción algebraica no es un múltiplo del denominador, después de simplificarla, podemos expresarla como una expresión mixta. Hay algunos casos donde no hay factores comunes para simplificar, por lo que dejamos la fracción tal como está.

Considera la siguiente división:

frac{x^2-x-6}{x+3}

Por inspección, no existe factorización simple que permita cancelar factores, por lo que debemos realizar la división de polinomios (recuerda que solo se puede hacer división cuando el numerador es de grado mayor o igual al denominador):

begin{array}{c|rrr}
\hline
x+3&  &x^2 & -x &-6  \
end{array}

Con este procedimiento obtenemos una expresión directa para el cociente y el residuo

begin{array}{c|rrr}
& & x& -4&  \hline
x+3&  &x{^2}& -x &-6  \
& & -x{^2} & -3x &   \hline
& & &-4x&-6  \
& & &4x&+12 \hline
& & & & 6 
end{array}

Ahora podemos reescribir la fracción impropia como fracción mixta: el cociente x-4 será la parte entera, más el residuo 6 dividido por el denominador original x+3

x-4+frac{6}{x+3}