Polinomio de grado mayor a dos

En el capítulo de funciones polinomiales de la asignatura Precálculo aprenderemos a identificar factores y ceros de polinomios mediante el uso de la división sintética y el teorema del factor; éste afirma que:

Si al dividir un polinomio por el binomio x-r el residuo es cero, entonces x-r es un factor del polinomio

El teorema proporciona un método para factorizar polinomios de grado superior una vez que se ha realizado la división. Para ello podemos usar el algoritmo de “casita” o división larga de polinomios. Sin embargo, es conveniente usar la división sintética por su sencillez.

Como ejemplo factoricemos el polinomio x^4-2x^3-11x^2+12x

1. Como todos los términos tienen una x la sacamos como factor común: x(x^3-2x^2-11x+12)

2. Ahora factorizaremos el polinomio dentro de los paréntesis. Primero buscamos los divisores positivos y negativos del término independiente (en estos valores se encuentran los posibles números que conllevan a un residuo cero) 12: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12

3. Escogemos alguno de los submúltiplos para realizar la división; es recomendable empezar con los valores más chicos, por ejemplo r=+1

Se coloca el divisor del lado izquierdo de una barra vertical y a la derecha se anotan los coeficientes del polinomio, empezando desde la potencia mayor hasta la menor (si alguna potencia no aparece se coloca un cero):

\begin{array}{c|rrr} &x^3&x^2&x^1&x^0 \\ \\+1&+1&-2&-11&+12\ \end{array}

4. Dejando un renglón de espacio dibujamos una barra horizontal y debajo copiamos el primero de los coeficientes; enseguida lo multiplicamos por el submúltiplo de la izquierda y el resultado se coloca debajo del siguiente coeficiente:

\begin{array}{c|rrr} &x^3&x^2&x^1&x^0 \\ \\+1&+1&-2&-11&+12\\&&+1\\\hline &+1\\\end{array}

5. Calculamos la suma de los números en la segunda columna y el resultado se anota debajo de la barra. Después repetimos el procedimiento hasta la última columna:

\begin{array}{c|rrr} &x^3&x^2&x^1&x^0 \\ \\+1&+1&-2&-11&+12\\&&+1&-1&-12\\\hline &+1&-1&-12&0\\ \end{array}

6. El último número de la parte inferior es el residuo; si es cero, quiere decir que hemos encontrado un factor que es igual al binomio x-r , en este caso es x-1 . Si no es cero, probamos otro de los divisores y repetimos la división sintética.

Los números a la izquierda del residuo serán los coeficientes de un polinomio un grado menor que el original. Como en este ejemplo el primero era de grado 3 obtenemos un polinomio de grado 2 con coeficientes +1, -1, -12

\begin{array}{c|rrr} &x^3&x^2&x^1&x^0 \\ \\+1&+1&-2&-11&+12\\&&+1&-1&-12\\\hline &+1&-1&-12&0\\ \\&x^2&x^1&x^0&Res\end{array}

7. Hasta este paso hemos factorizado el polinomio original como x(x-1)(x^2-x-12)

8. Ahora buscamos factorizar el polinomio resultante, por división sintética o, si es de segundo grado, con los métodos vistos en el capítulo: x^2-x-12=(x-4)(x+3)

Recuerda que no todos los polinomios cuadráticos son factorizables en los números reales; si en un polinomio de la forma ax^2+bx+c el discriminante es menor que cero b^2-4ac < 0 el polinomio es irreducible.

9. La factorización completa del polinomio es: x(x-1)(x-4)(x+3)