Actividad – Análisis gráfico de una función
Gráfica de una función
Analizaremos la función f(x)=2x^{5/3}-5x^{4/3} para realizar un bosquejo de su gráfica.
a) Ceros
Resolvemos la ecuación f(x)=0 para determinar las intersecciones con el eje x
2x^{5/3}-5x^{4/3}=x^{4/3}left(2x^{1/3}-5right)=0
x^{4/3}=0 Longrightarrow x=0^{3/4}Longrightarrow x_1=0
2x^{1/3}-5=0 Longrightarrow x=left(frac{5}{2}right)^3Longrightarrow x_2= frac{125}{8}Los ceros son los puntos C_1(0, 0) y C_2(125/8, 0)
b) Ordenada al origen
Es el punto donde se cruza al eje y en x=0 . Como f(0)=0 coincide con uno de los ceros: C_1(0, 0)
c) Puntos críticos
En los puntos críticos puede (o no) localizarse los extremos. Como la primera derivada f'(x)=frac{10}{3}x^{2/3}-frac{20}{3}x^{1/3} está definida en todo punto, no hay puntos singulares, solo puntos estacionarios donde f'(x)=0
frac{10}{3}x^{2/3}-frac{20}{3}x^{1/3}=frac{10}{3}x^{1/3}left(x^{1/3}-2right)=0
frac{10}{3}x^{1/3}=0Longrightarrow x=left(frac{3cdot0}{10} right)^{3}Longrightarrow x_1 =0
x^{1/3}-2=0Longrightarrow x=2^{3}Longrightarrow x_2=8Los puntos críticos y posibles extremos son los puntos C_1(0, 0) y C_3(8, -16)
d) Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión se localizan donde la segunda derivada vale cero o es indefinida. Como esta función está dada por f''(x)=frac{20}{9}x^{-1/3}-frac{20}{9}x^{-2/3}=frac{20}{9x^{1/3}}-frac{20}{9x^{2/3}} tendrá de los dos tipos de puntos, ya que en x=0 es indefinida
frac{20}{9x^{1/3}}-frac{20}{9x^{2/3}}=frac{20}{9x^{2/3}}left(x^{1/3}-1right)=0
frac{20}{9x^{2/3}}to infty Longrightarrow x_1 =0
x^{1/3}-1=0Longrightarrow x_2=1Los posibles puntos de inflexión son los puntos C_1(0, 0) y C_4(1, -3)
e) Signo de la función antes del primer cero
Para ubicar desde qué región comienza la gráfica, determinamos el valor de la función en algún valor de x que sea menor al primer cero. Por ejemplo tomemos x=-1
f(-1)=2(-1)^{5/3}-5(-1)^{4/3}=2(-1)-5(1)=-7Por lo tanto, la función vendrá desde -infty y crecerá hasta llegar al primer cero.
f) Ubicación de puntos y trazo de la gráfica
Una vez que tenemos todos los puntos, los ubicamos en la gráfica y trazamos la función
Con la gráfica dibujada podemos hacer las siguientes conclusiones sobre extremos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía y de concavidad:
- La función es creciente y negativa en el intervalo (-infty, 0)
- La función alcanza un máximo relativo en el punto C_1(0, 0) , que también es un cero, pero no es un punto de inflexión
- La función es cóncava hacia abajo en el intervalo (-infty, 1)
- La función tiene un punto de inflexión en C_4(1, -3)
- La función es decreciente en el intervalo (0, 8)
- La función alcanza un mínimo relativo en el punto C_3(8, -16)
- La función tiene un cero que atraviesa el eje x en el punto C_2(125/8, 0)
- La función es creciente en el intervalo (8, +infty)
- La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (1, +infty)
