Actividad – Derivación implícita

Derivada en una ecuación implícita

Una ecuación explícita para la variable dependiente $y$ , en función de la variable independiente $x$ , es aquella en la que podemos despejar la variable $y$ en un solo miembro de la ecuación, y es de la forma

y=f(x)

En una ecuación implícita para la variable dependiente $y$ y la variable independiente $x$ no siempre es posible (o sencillo) despejar en un solo miembro la variable $y$ , y tiene como posibles formas

f(x, y)=cte, F(y)=G(x)

Por ejemplo, la ecuación $sen y=x$ es implícita en esta forma, pero se puede reescribir como $y = arcsen x$ cuando despejamos $y$ . Ya conocemos que la derivada de la segunda forma es

frac{dy}{dx}=frac{1}{sqrt{1-x^2}}

la cual es una forma explícita de la derivada. Sin embargo, podemos usar la regla de la cadena en la primera forma de la ecuación para calcularla de forma implícita

frac{d}{dx}left(sen y=xright)

cos ycdot frac{dy}{dx}=1

frac{dy}{dx}=frac{1}{cos y}=sec y

En un triángulo rectángulo, la ecuación $sen y=x$ implica que el cateto opuesto es $x$ y la hipotenusa es $1$ , por lo que podemos calcular el cateto adyacente con el teorema de Pitágoras como $sqrt{1-x^2}$ . Por tanto, el coseno se puede escribir como $cos y=sqrt{1-x^2}$ y el recíproco de éste es la secante, es decir

sec y=frac{1}{sqrt{1-x^2}}

que coincide con el primer resultado.

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