Actividad – Indeterminaciones en funciones trascendentes
Teorema de L’Hôpital
Regla de L’Hôpital para formas del tipo 0/0
Dadas dos funciones f y g diferenciables, si limlimits_{x to alpha}f(x)=limlimits_{x to alpha}g(x)=0 y limlimits_{x to alpha} left[ f'(x)/g'(x) right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces
limlimits_{x to alpha} frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{x to alpha} frac{f'(x)}{g'(x)}Por ejemplo, consideremos el límite
limlimits_{x to 0} frac{mathrm{sen} nx}{mathrm{sen} mx}Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada
limlimits_{x to 0} mathrm{sen} nx=mathrm{sen}(0)=0, limlimits_{x to 0} mathrm{sen} mx=mathrm{sen}(0)=0Ahora podemos reemplazar el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado (no debe usarse la regla para la derivada de un cociente)
begin{split}
limlimits_{x to 0} frac{mathrm{sen} nx}{mathrm{sen} mx}
& = limlimits_{x to 0} frac{(mathrm{sen} nx)'}{(mathrm{sen} mx)'} \
& = limlimits_{x to 0} frac{ncos nx}{mcos mx} \
&= frac{ncos(0)}{mcos(0)} \
&= frac{n}{m}
end{split}Regla de L’Hôpital para formas del tipo infty/infty
Dadas dos funciones f y g diferenciables, si limlimits_{x to alpha}|f(x)|=limlimits_{x to alpha}|g(x)|=infty y limlimits_{x to alpha} left[ f'(x)/g'(x) right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces
limlimits_{x to alpha} frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{x to alpha} frac{f'(x)}{g'(x)}donde alpha puede representar un límite finito lateral o bilateral c, c^+, c^- o un límite al infinito positivo o negativo pm infty .
Por ejemplo, consideremos el límite
limlimits_{x to 0^+} frac{ln x}{csc x}Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada
limlimits_{x to 0^+} ln x=-infty, limlimits_{x to 0^+} csc x=+inftyAhora reemplazamos el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado
begin{split}
limlimits_{x to 0^+} frac{ln x}{csc x}
& = limlimits_{x to 0^+} frac{(ln x)'}{(csc x)'} \
& = limlimits_{x to 0^+} frac{1/x}{-csc x cot x}
end{split}El último límite de nuevo tiene la forma indeterminada infty/infty . Una posible solución sería aplicar de nuevo la regla, sin embargo, al hacerlo solo se volverían más complicadas las expresiones en el numerador y denominador. En su lugar, reescribimos las expresiones
begin{split}
limlimits_{x to 0^+} frac{1/x}{-csc x cot x}
& = limlimits_{x to 0^+} left(-frac{1}{x csc x}cdot frac{1}{cot x}right) \
& = limlimits_{x to 0^+} left(-frac{mathrm{sen} x}{x}cdot tan x right) \
& = limlimits_{x to 0^+} -frac{mathrm{sen} x}{x}cdot limlimits_{x to 0^+} tan x \
& =(-1)(0) \
& = 0
end{split}donde hemos usado el límite (visto en la lección de teoría)
limlimits_{x to 0} frac{mathrm{sen} x}{x}=1