Actividad – Optimización
Ejemplo de optimización
Determina la longitud de la escalera más corta que llega desde el piso, sobre un muro de 5 m de altura, hasta una pared de un edificio a 0.5 m de distancia del muro.
A partir de la figura mostrada podemos construir dos triángulos rectángulos semejantes cuyas hipotenusas l_1, l_2 forman la longitud l=l_1+l_2 de la escalera
Usamos el teorema de Tales para encontrar una ecuación secundaria y despejar una de las incógnitas
frac{y}{5}=frac{1/2}{x} Longrightarrow y=frac{5}{2x}Con el teorema de Pitágoras calculamos l_1 y l_2
{l_1}^2=x^2+5^2 Longrightarrow l_1=sqrt{x^2+25}
{l_2}^2=left(frac{5}{2x}right)^2+left(frac{1}{2}right)^2 Longrightarrow l_2=frac{sqrt{x^2+25}}{2x}La ecuación primaria es la expresión para la longitud de la escalera en función de una única variable
l(x)=l_1+l_2=sqrt{x^2+25}left(1+frac{1}{2x}right)Buscamos los puntos críticos de la función y determinamos el valor mínimo
l'(x)=0
sqrt{x^2+25}left(-frac{1}{2x^2}right)+left(1+frac{1}{2x}right)cdot frac{1}{2}frac{2x}{sqrt{x^2+25}}=0
frac{x+1/2}{sqrt{x^2+25}}=frac{sqrt{x^2+25}}{2x^2}
2x^2(x+1/2)=sqrt{x^2+25}cdot sqrt{x^2+25}
2x^3+x^2=x^2+25
x=sqrt[3]{frac{25}{2}}approx2.32Encontramos que en x=2.32 existe un punto crítico. Para confirmar que es un mínimo relativo evaluamos la expresión para la longitud de la escalera en este número y en valores cercanos
l(2)approx 6.73, l(2.32)approx 6.69, l(2.5)approx 6.71
Como l es menor en el punto crítico que en los puntos cercanos a su izquierda y derecha, confirmamos que se trata de un mínimo. Por lo tanto, la longitud de la escalera más corta es l=6.69 m
