Actividad – Sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos, los más usuales son: reducción, sustitución e igualación

Ejemplo 1: Resuelve por el método de reducción

begin{array}{rcl} 2x+5y & = & 19 3x-4y & = & -6 end{array}

Primero escogemos una variable para eliminar, por ejemplo y . A continuación multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente de literal de abajo, y viceversa; además, si la letra tiene signos diferentes en cada ecuación, los coeficientes pasan igual, pero si tiene el mismo signo en ambas, se agrega un signo menos en alguno de los coeficientes, ya que buscamos sumar las ecuaciones y cancelar dicha literal.

Multiplicamos la ecuación superior por 4 y la inferior por 5

begin{array}{rcl} (4)(2x+5y & = & 19) (5)(3x-4y & = & -6) end{array}

begin{array}{rcl} 8x+20y & = & 76 15x-20y & = & -30 end{array}

Ahora sumamos las dos ecuaciones, término a término, y observamos que la y se elimina, obteniendo una única ecuación para x

23x=46 rightarrow x=frac{46}{23}

x=2

Como ya conocemos el valor de una incógnita, podemos reemplazarla en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar la otra. Usando la segunda

3(2)-4y = -6 rightarrow 6-4y = -6

-4y = -6-6=-12 rightarrow y = frac{-12}{-4}

y = 3

Ejemplo 2: Resuelve por el método de sustitución

begin{array}{lcc} -x+y & = & -7 5x+3y & = & 3 end{array}

En este método buscamos despejar una de las incógnitas en términos de la otra y sustituir en la otra ecuación. Como en la primera los coeficientes son unos es la más sencilla de despejar. Resolviendo para y , la x pasa sumando del otro lado

y=x-7

Ahora sustituimos en la segunda ecuación: en lugar de escribir y escribiremos x-7 , obteniendo una ecuación para despejar x

5x+3(x-7) = 3 rightarrow 5x+3x-21 = 3

8x = 3+21=24 rightarrow x=frac{24}{8}

x = 3

Finalmente usamos este valor en la ecuación donde despejamos y

y = 3-7=-4

y=-4

Ejemplo 3: Resuelve por el método de igualación

begin{array}{lcc} 2x-3y & = & 9 5x+6y & = & -45 end{array}

Se despeja la misma literal en ambas ecuaciones; por ejemplo, despejemos x

2x = 3y+9 rightarrow x=frac{3y+9}{2} 5x = -6y-45 rightarrow x=frac{-6y-45}{5}

Ahora igualamos los miembros derechos para obtener una ecuación en la que encontraremos el valor de y

frac{3y+9}{2}=frac{-6y-45}{5}

En una ecuación donde todo el lado izquierdo y derecho son fracciones, se pasa el denominador de un lado multiplicando por el numerador del otro

(5)(3y+9)=(2)(-6y-45)

15y+45=-12y-90

15y+12y=-90-45

27y=-135 rightarrow y=frac{-135}{27}

y=-5

Por último sustituimos este valor en alguna de las ecuaciones que despejamos para x

x=frac{3(-5)+9}{2}=frac{-15+9}{2} x=-3
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