Lectura – Área de polígonos por determinantes

¿Cómo calcular el área de un polígono?

En el caso de los polígonos, se puede determinar su área utilizando determinantes. Un determinante es un número que se obtiene a partir de una matriz cuadrada, y en este contexto, se utiliza para calcular el área de un polígono en un sistema de coordenadas.

Cálculo del área de un polígono por determinantes:

Para calcular el área de un polígono utilizando determinantes, se deben seguir los siguientes pasos:

Definir los vértices del polígono: El primer paso es determinar las coordenadas de los vértices del polígono en un sistema de coordenadas cartesianas.

Formar las matrices: A partir de las coordenadas de los vértices, se construyen una matríz. Una columna tiene las coordenadas x de los vértices, y la otra columna tiene las coordenadas y de los vértices. Por ejemplo, si tenemos un polígono con n vértices, la matriz será:

M={begin{bmatrix}
x_1&y_1 \ 
x_2&y_2 \ 
vdots&vdots \ 
x_n&y_n 
end{bmatrix}}

Calcular el determinante: A continuación, se calcula el determinante de la matriz. Esto se hace al agregar la primera fila al último de la matriz, como:

det(M)={begin{vmatrix}
x_1&y_1 \ 
x_2&y_2 \ 
vdots&vdots \ 
x_n&y_n 
end{vmatrix}}

El determinante |M| se obtiene sumando los productos diagonales de la matriz y restando los productos diagonales en la dirección opuesta; para facilitar el cálculo, se agrega al final el primer renglón. El resultado es:

begin{split}
det(M) 
&= {begin{vmatrix}
x_1&&y_1 \ 
x_2&searrow&y_2 \ 
vdots&&vdots \ 
x_n&searrow&y_n \
x_1&searrow&y_1
end{vmatrix}}-
{begin{vmatrix}
x_1&&y_1 \ 
x_2&nearrow&y_2 \ 
vdots&&vdots \ 
x_n&nearrow&y_n \
x_1&nearrow&y_1
end{vmatrix}}\
&=(x_1y_2+x_2y_3+cdots+x_ny_1)-(x_1y_n+x_ny_{n-1}+cdots+x_2y_1)
end{split}

Calcular el área: El área del polígono se calcula tomando la mitad del valor absoluto de det(M) (esto debido a que el determinante puede ser positivo o negativo, pero el área debe ser siempre un valor positivo):

A = frac{1}{2}|det(M)|

¿Cómo se aplica?

Supongamos que tenemos un triángulo con los siguientes vértices en un sistema de coordenadas cartesianas: A(2, 7) , B (-8, -3) y C (7, -3)

Formar la matriz: El orden en el que se acomodan los vértices es irrelevante, pero deben respetarse las coordenadas correspondientes

M={begin{bmatrix}
2&7 \ 
-8&-3 \ 
7&-3
end{bmatrix}}

Calcular el determinante: Calculamos el determinante de la matriz

begin{split}
det(M) 
&= [(2cdot -3)+(-8cdot -3)+ (7cdot7)] - [(2cdot -3)+ (7cdot -3)+ (-8cdot 7)]\
&= (-6 +24 +49) - (-6-21-56)\
&=67+83\
&=150
end{split}

Calcular el área: Aplicamos la fórmula

A = frac{1}{2}|det(M)| = frac{1}{2}|150|=75

Por lo tanto, el área del triángulo es igual a 75 unidades cuadradas.