Lectura – El Teorema de Bayes: una herramienta poderosa
¿Qué es la paradoja de Monty Hall?
La paradoja de Monty Hall es un famoso problema matemático basado en un concurso televisivo de los años 70 llamado “Let’s Make a Deal” (el equivalente de este programa en México sería la catafixia de “En Familia con Chabelo”), presentado por Monty Hall. La paradoja se plantea de la siguiente manera:
Imagínate que estás en un concurso y te presentan tres puertas: Puerta 1, Puerta 2 y Puerta 3. Detrás de una de las puertas se encuentra un automóvil, mientras que las otras dos puertas ocultan cabras. Tu objetivo es seleccionar la puerta que crees que esconde el automóvil.
Supongamos que eliges la Puerta 1 como tu elección inicial. En este punto, hay una probabilidad de 1/3 de que hayas acertado y la Puerta 1 contenga el automóvil, y una probabilidad de 2/3 de que el automóvil esté detrás de una de las otras dos puertas.
En este punto, Monty Hall, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, decide intervenir para aumentar la tensión del juego. Monty, consciente de lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las otras dos puertas que no has elegido, revelando una cabra. Ahora solo quedan dos puertas cerradas: la que elegiste inicialmente (Puerta 1) y la otra puerta sin abrir (por ejemplo, Puerta 2).
Aquí es donde se presenta la paradoja. Monty te ofrece la oportunidad de cambiar tu elección original de la Puerta 1 a la otra puerta que aún no ha sido abierta (por ejemplo, Puerta 2). Ahora tienes que decidir si te quedas con tu elección original o si cambias a la otra puerta.
La intuición podría llevarnos a creer que, dado que hay dos puertas cerradas, hay una probabilidad del 50% de que el automóvil esté detrás de cada una de ellas, por lo que cambiar o quedarse con la elección original no haría ninguna diferencia. Sin embargo, esto es incorrecto.
La clave para resolver la paradoja de Monty Hall es comprender que Monty siempre abrirá una puerta que no contiene el automóvil, revelando una cabra. Al hacerlo, Monty te está proporcionando información adicional. Al cambiar tu elección original, en realidad estás aumentando tus probabilidades de ganar el automóvil.
Si analizamos las dos posibles estrategias, se puede ver lo siguiente:
Si te quedas con tu elección original, tienes una probabilidad de 1/3 de ganar el automóvil, igual que al inicio.
Si cambias a la otra puerta no abierta, tienes una probabilidad de 2/3 de ganar el automóvil, que es la probabilidad de que no esté tu elección original, además de que sabes que en la que se abrió no está.
Por lo tanto, cambiar de puerta te da una mayor probabilidad de ganar el automóvil. Esto puede ser contra intuitivo, ya que parece que al abrir una puerta Monty reduce las opciones a dos y, en consecuencia, la probabilidad debería ser del 50% para cada una. Sin embargo, la información adicional proporcionada por Monty al abrir una puerta cambia la probabilidad y hace que cambiar sea la estrategia óptima.
La paradoja de Monty Hall ha sido objeto de numerosos debates y discusión.
¿Qué principio de probabilidad está aplicado en esta paradoja?
El principio de probabilidad aplicado en la paradoja de Monty Hall es el conocido como el “Principio de Bayes” o “Teorema de Bayes”. Este principio establece cómo actualizar nuestras creencias o probabilidades en función de la nueva información recibida.
El Teorema de Bayes nos permite actualizar nuestras probabilidades en función de esta nueva información. La clave es comprender que Monty Hall siempre abrirá una puerta con una cabra, lo que nos permite realizar el cálculo. Si inicialmente hemos elegido una puerta con una cabra, al cambiar nuestra elección ganaremos el automóvil. Sin embargo, si inicialmente hemos elegido la puerta con el automóvil, al cambiar perderemos.
El principio de Bayes nos permite actualizar nuestras probabilidades basándonos en la nueva información proporcionada por Monty Hall, lo que demuestra que cambiar de puerta es la estrategia óptima para aumentar nuestras posibilidades de ganar el premio.
¿Hay algunos otros ejemplos donde se aplique este principio?
El principio de Bayes se aplica ampliamente en diversos campos y situaciones.
Diagnóstico médico: En medicina, el principio de Bayes se utiliza para calcular la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad con base en los síntomas presentados y los resultados de las pruebas médicas. Los médicos combinan la información previa (probabilidad de la enfermedad en la población) con la nueva evidencia (síntomas y resultados de pruebas) para llegar a un diagnóstico más preciso.
Filtrado de correo no deseado (spam): Los algoritmos de detección de spam utilizan el principio de Bayes para calcular la probabilidad de que un correo electrónico sea spam o no. Se basan en la frecuencia con la que ciertas palabras o características aparecen tanto en correos electrónicos de spam conocidos como en correos electrónicos legítimos, y actualizan las probabilidades en función de los nuevos correos electrónicos analizados.
Reconocimiento de voz: En el reconocimiento de voz, el principio de Bayes se utiliza para determinar la probabilidad de que una secuencia de sonidos corresponda a una palabra o frase específica. Los modelos de reconocimiento de voz combinan la información previa sobre las probabilidades de ocurrencia de diferentes palabras con las características acústicas de la señal de audio para realizar la transcripción.
Análisis de sentimiento en redes sociales: En el análisis de sentimiento, se utiliza el principio de Bayes para determinar la probabilidad de que un determinado mensaje en redes sociales tenga un sentimiento positivo o negativo. Se entrenan modelos de aprendizaje automático con ejemplos etiquetados y se actualizan las probabilidades en función de las palabras y las estructuras gramaticales presentes en el texto.