Actividad – Indeterminaciones en funciones trascendentes

Teorema de L’Hôpital

Regla de L’Hôpital para formas del tipo 0/0

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=0 y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ nx}{\mathrm{sen}\ mx}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0} \mathrm{sen}\ nx=\mathrm{sen}(0)=0,\ \ \lim\limits_{x \to 0} \mathrm{sen}\ mx=\mathrm{sen}(0)=0

Ahora podemos reemplazar el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado (no debe usarse la regla para la derivada de un cociente)

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ nx}{\mathrm{sen}\ mx} \
 & = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\mathrm{sen}\ nx)'}{(\mathrm{sen}\ mx)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \frac{n\cos nx}{m\cos mx} \\
&= \frac{n\cos(0)}{m\cos(0)} \\
&= \frac{n}{m}
\end{split}

Regla de L’Hôpital para formas del tipo \infty/\infty

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}|f(x)|=\lim\limits_{x \to \alpha}|g(x)|=\infty y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

donde \alpha puede representar un límite finito lateral o bilateral c, c^+, c^- o un límite al infinito positivo o negativo \pm \infty .

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty,\ \ \lim\limits_{x \to 0^+} \csc x=+\infty

Ahora reemplazamos el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x} \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(\csc x)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} 
\end{split}

El último límite de nuevo tiene la forma indeterminada \infty/\infty . Una posible solución sería aplicar de nuevo la regla, sin embargo, al hacerlo solo se volverían más complicadas las expresiones en el numerador y denominador. En su lugar, reescribimos las expresiones

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot\ x}  \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{1}{x \csc x}\cdot \frac{1}{\cot x}\right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{\mathrm{sen}\ x}{x}\cdot \tan x \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} -\frac{\mathrm{sen}\ x}{x}\cdot \lim\limits_{x \to 0^+} \tan x  \\
& =(-1)(0) \\
& = 0
\end{split}

donde hemos usado el límite (visto en la lección de teoría)

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ x}{x}=1

¡Pon a prueba tus conocimientos!

La siguiente prueba no cuenta con un límite de tiempo, podrás practicar las veces que lo necesites, al finalizar esta actividad podrás conocer los resultados obtenidos. Para que esta prueba se marque como completa deberás de obtener como mínimo un 70% de calificación. Haz clic en “Empezar Cuestionario” para comenzar.

¡Éxito!