Actividad – Indeterminaciones en funciones trascendentes

Teorema de L’Hôpital

Regla de L’Hôpital para formas del tipo 0/0

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=0 y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ nx}{\mathrm{sen}\ mx}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0} \mathrm{sen}\ nx=\mathrm{sen}(0)=0,\ \ \lim\limits_{x \to 0} \mathrm{sen}\ mx=\mathrm{sen}(0)=0

Ahora podemos reemplazar el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado (no debe usarse la regla para la derivada de un cociente)

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ nx}{\mathrm{sen}\ mx} \
 & = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\mathrm{sen}\ nx)'}{(\mathrm{sen}\ mx)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \frac{n\cos nx}{m\cos mx} \\
&= \frac{n\cos(0)}{m\cos(0)} \\
&= \frac{n}{m}
\end{split}

Regla de L’Hôpital para formas del tipo \infty/\infty

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}|f(x)|=\lim\limits_{x \to \alpha}|g(x)|=\infty y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

donde \alpha puede representar un límite finito lateral o bilateral c, c^+, c^- o un límite al infinito positivo o negativo \pm \infty .

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty,\ \ \lim\limits_{x \to 0^+} \csc x=+\infty

Ahora reemplazamos el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x} \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(\csc x)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} 
\end{split}

El último límite de nuevo tiene la forma indeterminada \infty/\infty . Una posible solución sería aplicar de nuevo la regla, sin embargo, al hacerlo solo se volverían más complicadas las expresiones en el numerador y denominador. En su lugar, reescribimos las expresiones

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot\ x}  \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{1}{x \csc x}\cdot \frac{1}{\cot x}\right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{\mathrm{sen}\ x}{x}\cdot \tan x \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} -\frac{\mathrm{sen}\ x}{x}\cdot \lim\limits_{x \to 0^+} \tan x  \\
& =(-1)(0) \\
& = 0
\end{split}

donde hemos usado el límite (visto en la lección de teoría)

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen}\ x}{x}=1

¡Pon a prueba tus conocimientos!

La siguiente prueba no cuenta con un límite de tiempo, cuentas con un máximo de 3 intentos para poder aprobar esta actividad, al finalizarla podrás conocer los resultados obtenidos. Para que esta prueba se marque como aprobada deberás de obtener como mínimo un 70% de calificación. Haz clic en “Empezar Cuestionario” para comenzar.

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