Lectura – Regla de los cuatro pasos en cálculo diferencial

¿Cuál es la definición formal de derivada?

La derivada es uno de los conceptos centrales en el cálculo diferencial. Proporciona una medida de la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto específico. Formalmente, la derivada de una función f(x) en un punto x = a, denotada como f'(a) o \frac{d}{dx}f(a) , se define como el límite de la razón de cambio incremental de la función cuando el incremento en x tiende a cero:

Definición formal de derivada:

Si f(x) es una función definida en un intervalo que contiene al punto a, la derivada de f(x) en a, denotada como f'(a) , se define como:

f'(a) = \lim_ {h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Donde:

f'(a) representa la derivada de la función f(x) en el punto x = a.

\lim denota el símbolo matemático de límite

h es un pequeño incremento en x, y se aproxima a cero (h \to 0) .

f(a + h) representa el valor de la función f(x) en el punto a + h.

f(a) es el valor de la función f(x) en el punto a.

En palabras, la derivada de una función en un punto a se calcula encontrando la tasa de cambio entre dos puntos muy cercanos en la función, y luego tomando el límite cuando la separación entre esos dos puntos se hace infinitesimalmente pequeña (se acerca a cero). Esto da como resultado la tasa de cambio instantáneo, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en el punto a.

¿Cuál es la regla de los 4 pasos?

La regla de los 4 pasos es un método práctico para calcular la derivada de una función utilizando la definición formal de derivada. Los pasos son los siguientes:

Paso 1: Evaluar la función en la variable más un incremento h : f(x+h)

Paso 2: A la función evaluada con el incremento se le resta la función original: f(x+h)-f(x)

Paso 3: Dividir la diferencia de funciones por el incremento: \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Paso 4: Tomar el límite donde el incremento tiende a cero: \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Es importante destacar que, aunque la definición formal de derivada puede ser útil para entender el concepto de manera rigurosa, en la práctica, existen reglas más rápidas para calcular derivadas de funciones utilizando propiedades y reglas de derivación. Estas reglas incluyen la regla de la potencia, regla del producto, regla del cociente, regla de la cadena, entre otras. Estas reglas simplifican en gran medida el proceso de cálculo de derivadas, especialmente para funciones más complejas.

Ejemplo:

Obtener la derivada de f(x)=2x^3-6x^2-7x+11

Paso 1:

\begin{split}
f(x+h) & = 2(x+h)^3-6(x+h)^2-7(x+h)+11 \\
& = 2(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-6(x^2+2xh+h^2)-7x-7h+11 \\
& = 2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-6x^2-12xh-6h^2-7x-7h+11
\end{split}

Paso 2:

\begin{split}
f(x+h) - f(x) & = 2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-6x^2-12xh-6h^2-7x-7h+11- (2x^3-6x^2-7x+11)\\
& = 2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-6x^2-12xh-6h^2-7x-7h+11-2x^3+6x^2+7x-11 \\
& = 6x^2h+6xh^2+2h^3-12xh-6h^2-7h
\end{split}

Paso 3:

\begin{split}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \frac{6x^2h+6xh^2+2h^3-12xh-6h^2-7h}{h} \\
& = \frac{h(6x^2+6xh+2h^2-12x-6h-7)}{h} \\
& = 6x^2+6xh+2h^2-12x-6h-7
\end{split}

Paso 4:

\begin{split}
\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \lim\limits_{h \to 0}(6x^2+6xh+2h^2-12x-6h-7)\\
& = 6x^2-12x-7
\end{split}