Actividad – Derivación implícita

Derivada en una ecuación implícita

Una ecuación explícita para la variable dependiente y , en función de la variable independiente x , es aquella en la que podemos despejar la variable y en un solo miembro de la ecuación, y es de la forma

y=f(x)

En una ecuación implícita para la variable dependiente y y la variable independiente x no siempre es posible (o sencillo) despejar en un solo miembro la variable y , y tiene como posibles formas

f(x, y)=cte,\  F(y)=G(x)

Por ejemplo, la ecuación sen\ y=x es implícita en esta forma, pero se puede reescribir como y = arcsen\ x cuando despejamos y . Ya conocemos que la derivada de la segunda forma es

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

la cual es una forma explícita de la derivada. Sin embargo, podemos usar la regla de la cadena en la primera forma de la ecuación para calcularla de forma implícita

\frac{d}{dx}\left(sen\ y=x\right)

cos\ y\cdot \frac{dy}{dx}=1

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos\ y}=sec\ y

En un triángulo rectángulo, la ecuación sen\ y=x implica que el cateto opuesto es x y la hipotenusa es 1 , por lo que podemos calcular el cateto adyacente con el teorema de Pitágoras como \sqrt{1-x^2} . Por tanto, el coseno se puede escribir como cos\ y=\sqrt{1-x^2} y el recíproco de éste es la secante, es decir

sec\ y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

que coincide con el primer resultado.

¡Pon a prueba tus conocimientos!

La siguiente prueba no cuenta con un límite de tiempo, podrás practicar las veces que lo necesites, al finalizar esta actividad podrás conocer los resultados obtenidos. Para que esta prueba se marque como completa deberás de obtener como mínimo un 70% de calificación. Haz clic en “Empezar Cuestionario” para comenzar.

¡Éxito!