El teorema del valor medio es un resultado fundamental en el cálculo diferencial que establece una relación entre la derivada de una función continua en un intervalo y el valor promedio de la función en ese mismo intervalo. Este teorema fue propuesto por primera vez por el matemático francés Augustin-Louis Cauchy.
Enunciado del teorema del valor medio:
Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Matemáticamente, esto se expresa como:
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
donde c es un valor entre a y b.
Interpretación geométrica:
El teorema del valor medio garantiza que en algún punto del intervalo (a, b), la tangente a la curva de la función f(x) es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Esto significa que en algún punto de dicho intervalo, la velocidad instantánea de cambio de la función es igual a la velocidad promedio de cambio en todo el intervalo.
Implicaciones del teorema del valor medio:
Si la función no es continua o no es diferenciable en el intervalo, el teorema podría no ser válido.
Para f(x)=\sqrt{x} en el intervalo [0,9], demuestre que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio, y por tanto existe al menos un valor c\in(0,9) tal que f'(c) es igual a la pendiente de la línea que une (0,f(0)) y (9,f(9)). Halla el valor de c.
Sabemos que f(x)=\sqrt{x} es continua en el intervalo [0,9] y diferenciable, por lo cual podemos aplicar el teorema del valor medio para calcular c.
Como primera parte tenemos que calcular la derivada de la función f:
f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Una vez calculada la derivada podemos proceder a calcular la pendiente de la línea que une a los puntos
m=\frac{f(9)-f(0)}{9-0}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{0}}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Una vez que hemos encontrado este valor podemos encontrar el valor de c tal que m=f’(c)
\begin{matrix} \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{3}\\ \\ c=\displaystyle\frac{9}{4} \end{matrix}
En la gráfica observamos la función f(x)=\sqrt{x}, la recta que une los puntos (0,0) y (9,3) y la recta tangente a f que es paralela a la primera recta.