Lectura – Derivadas de orden superior

¿Qué son las derivadas de orden superior?

Las derivadas de orden superior hacen referencia a la idea de calcular la tasa de cambio de la tasa de cambio de una función. Es decir, calcular la derivada de la derivada. Si tenemos la función f(x) , la segunda derivada se denota generalmente como f''(x) o \frac{d^2f}{dx^2}.

Para calcular la segunda derivada de una función f(x) , primero calculamos la primera derivada f'(x) y luego derivamos nuevamente esta nueva función resultante. Matemáticamente, la segunda derivada se expresa como:

f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{df}{dx}\right)

Del mismo modo, podemos calcular derivadas de orden superior adicionales. La tercera derivada: f'''(x) se calcula derivando f''(x) , la cuarta derivada: f^{IV}(x) o f^{(4)}(x) se calcula derivando f'''(x) , y así sucesivamente.

Las derivadas de orden superior tienen diversas aplicaciones en diferentes campos de la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo, en física, se utilizan para estudiar el movimiento de objetos en función del tiempo (aceleración), en economía, para analizar la optimización de funciones de producción y costos, y en ingeniería, para resolver problemas de control y sistemas dinámicos.

Ejemplo:

Encontrar f^{IV} de f(x)=4x^2-x+8-\frac{3}{x}

Calculamos la primera derivada:

\begin{matrix}
f(x)=4x^2-x+8-3x^{-1}\\ \\
f'(x)=4(2)x^{2-1}-x^{1-1}-3(-1)x^{-1-1}\\ \\
f'(x)=8x^{1}-x^0+3x^{-2}\\ \\
f'(x)=8x-1+\displaystyle\frac{3}{x^{2}}\end{matrix}

Calculamos la segunda derivada:

\begin{matrix}
f''(x)=8(1)x^{1-1}+3(-2)x^{-2-1}\\ \\
f''(x)=8-6x^{-3}\\ \\
f''(x)=8-\displaystyle\frac{6}{x^{3}}\end{matrix}

Calculamos la tercera derivada:

\begin{matrix}
f'''(x)=-6(-3)x^{-3-1}\\ \\
f'''(x)=18x^{-4}\\ \\
f'''(x)=\displaystyle\frac{18}{x^{4}}\end{matrix}

Calculando la cuarta derivada:

\begin{matrix}
f^{(4)}(x)=18(-4)x^{-4-1}\\ \\
f^{(4)}(x)=-72x^{-5}\\ \\
f^{(4)}(x)=-\displaystyle\frac{72}{x^{5}}\end{matrix}