Matemáticas V: Cálculo Diferencial (P2022)

Capítulo 1 - Límites
1.1 Límites y continuidad
1.2 Discontinuidades evitables
1.3 Límites infinitos
1.4 Límites al infinito
Capítulo 2 - Derivadas
2.1 Definición de la derivada
2.2 Derivadas de funciones algebraicas
2.3 Regla de la cadena y funciones trascendentes
2.4 Derivadas implícitas
Capítulo 3 - Aplicaciones de la derivada
3.1 Criterio de la primera derivada
3.2 Criterio de la segunda derivada
3.3 Trazo de funciones
Lectura – El papel de las derivadas en la construcción de gráficas
Kahoot! – Trazo de funciones
Actividad – Análisis gráfico de una función
3.4 Optimización y razones de cambio
3.5 Regla de L’Hôpital
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Actividad – Análisis gráfico de una función

Matemáticas V: Cálculo Diferencial (P2022) 3.3 Trazo de funciones Actividad – Análisis gráfico de una función

Gráfica de una función

Analizaremos la función f(x)=2x5/3−5x4/3 f(x)=2x^{5/3}-5x^{4/3} para realizar un bosquejo de su gráfica.

a) Ceros

Resolvemos la ecuación f(x)=0 f(x)=0 para determinar las intersecciones con el eje x x

2x5/3−5x4/3=x4/3(2x1/3−5)=0 x4/3=0⟹x=03/4⟹x1=0 2x1/3−5=0⟹x=(52)3⟹x2=12582x^{5/3}-5x^{4/3}=x^{4/3}\left(2x^{1/3}-5\right)=0\\\ \\ x^{4/3}=0 \Longrightarrow x=0^{3/4}\Longrightarrow x_1=0\\\ \\ 2x^{1/3}-5=0 \Longrightarrow x=\left(\frac{5}{2}\right)^3\Longrightarrow x_2= \frac{125}{8}

Los ceros son los puntos C1(0,0) C_1(0, 0) y C2(125/8,0) C_2(125/8, 0)

b) Ordenada al origen

Es el punto donde se cruza al eje y y en x=0 x=0 . Como f(0)=0 f(0)=0 coincide con uno de los ceros: C1(0,0) C_1(0, 0)

c) Puntos críticos

En los puntos críticos puede (o no) localizarse los extremos. Como la primera derivada f′(x)=103x2/3−203x1/3 f'(x)=\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3} está definida en todo punto, no hay puntos singulares, solo puntos estacionarios donde f′(x)=0 f'(x)=0

103x2/3−203x1/3=103x1/3(x1/3−2)=0 103x1/3=0⟹x=(3⋅010)3⟹x1=0 x1/3−2=0⟹x=23⟹x2=8\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3}=\frac{10}{3}x^{1/3}\left(x^{1/3}-2\right)=0\\\ \\ \frac{10}{3}x^{1/3}=0\Longrightarrow x=\left(\frac{3\cdot0}{10} \right)^{3}\Longrightarrow x_1 =0\\\ \\ x^{1/3}-2=0\Longrightarrow x=2^{3}\Longrightarrow x_2=8

Los puntos críticos y posibles extremos son los puntos C1(0,0) C_1(0, 0) y C3(8,−16) C_3(8, -16)

d) Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión se localizan donde la segunda derivada vale cero o es indefinida. Como esta función está dada por f′′(x)=209x−1/3−209x−2/3=209x1/3−209x2/3 f''(x)=\frac{20}{9}x^{-1/3}-\frac{20}{9}x^{-2/3}=\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}} tendrá de los dos tipos de puntos, ya que en x=0 x=0 es indefinida

209x1/3−209x2/3=209x2/3(x1/3−1)=0 209x2/3→∞⟹x1=0 x1/3−1=0⟹x2=1\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}}=\frac{20}{9x^{2/3}}\left(x^{1/3}-1\right)=0\\\ \\ \frac{20}{9x^{2/3}}\to \infty \Longrightarrow x_1 =0\\\ \\ x^{1/3}-1=0\Longrightarrow x_2=1

Los posibles puntos de inflexión son los puntos C1(0,0) C_1(0, 0) y C4(1,−3) C_4(1, -3)

e) Signo de la función antes del primer cero

Para ubicar desde qué región comienza la gráfica, determinamos el valor de la función en algún valor de x x que sea menor al primer cero. Por ejemplo tomemos x=−1 x=-1

f(−1)=2(−1)5/3−5(−1)4/3=2(−1)−5(1)=−7f(-1)=2(-1)^{5/3}-5(-1)^{4/3}=2(-1)-5(1)=-7

Por lo tanto, la función vendrá desde −∞ -\infty y crecerá hasta llegar al primer cero.

f) Ubicación de puntos y trazo de la gráfica

Una vez que tenemos todos los puntos, los ubicamos en la gráfica y trazamos la función

Con la gráfica dibujada podemos hacer las siguientes conclusiones sobre extremos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía y de concavidad:

  1. La función es creciente y negativa en el intervalo (−∞,0) (-\infty, 0)
  2. La función alcanza un máximo relativo en el punto C1(0,0) C_1(0, 0) , que también es un cero, pero no es un punto de inflexión
  3. La función es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞,1) (-\infty, 1)
  4. La función tiene un punto de inflexión en C4(1,−3) C_4(1, -3)
  5. La función es decreciente en el intervalo (0,8) (0, 8)
  6. La función alcanza un mínimo relativo en el punto C3(8,−16) C_3(8, -16)
  7. La función tiene un cero que atraviesa el eje x x en el punto C2(125/8,0) C_2(125/8, 0)
  8. La función es creciente en el intervalo (8,+∞) (8, +\infty)
  9. La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (1,+∞) (1, +\infty)
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