Actividad – Análisis gráfico de una función

Gráfica de una función

Analizaremos la función f(x)=2x^{5/3}-5x^{4/3} para realizar un bosquejo de su gráfica.

a) Ceros

Resolvemos la ecuación f(x)=0 para determinar las intersecciones con el eje x

2x^{5/3}-5x^{4/3}=x^{4/3}\left(2x^{1/3}-5\right)=0\\\ \\ 
x^{4/3}=0 \Longrightarrow x=0^{3/4}\Longrightarrow x_1=0\\\ \\
2x^{1/3}-5=0 \Longrightarrow x=\left(\frac{5}{2}\right)^3\Longrightarrow x_2= \frac{125}{8}

Los ceros son los puntos C_1(0, 0) y C_2(125/8, 0)

b) Ordenada al origen

Es el punto donde se cruza al eje y en x=0 . Como f(0)=0 coincide con uno de los ceros: C_1(0, 0)

c) Puntos críticos

En los puntos críticos puede (o no) localizarse los extremos. Como la primera derivada f'(x)=\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3} está definida en todo punto, no hay puntos singulares, solo puntos estacionarios donde f'(x)=0

\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3}=\frac{10}{3}x^{1/3}\left(x^{1/3}-2\right)=0\\\ \\
\frac{10}{3}x^{1/3}=0\Longrightarrow x=\left(\frac{3\cdot0}{10} \right)^{3}\Longrightarrow x_1 =0\\\ \\
x^{1/3}-2=0\Longrightarrow x=2^{3}\Longrightarrow x_2=8

Los puntos críticos y posibles extremos son los puntos C_1(0, 0) y C_3(8, -16)

d) Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión se localizan donde la segunda derivada vale cero o es indefinida. Como esta función está dada por f''(x)=\frac{20}{9}x^{-1/3}-\frac{20}{9}x^{-2/3}=\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}} tendrá de los dos tipos de puntos, ya que en x=0 es indefinida

\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}}=\frac{20}{9x^{2/3}}\left(x^{1/3}-1\right)=0\\\ \\
\frac{20}{9x^{2/3}}\to \infty \Longrightarrow x_1 =0\\\ \\
x^{1/3}-1=0\Longrightarrow x_2=1

Los posibles puntos de inflexión son los puntos C_1(0, 0) y C_4(1, -3)

e) Signo de la función antes del primer cero

Para ubicar desde qué región comienza la gráfica, determinamos el valor de la función en algún valor de x que sea menor al primer cero. Por ejemplo tomemos x=-1

f(-1)=2(-1)^{5/3}-5(-1)^{4/3}=2(-1)-5(1)=-7

Por lo tanto, la función vendrá desde -\infty y crecerá hasta llegar al primer cero.

f) Ubicación de puntos y trazo de la gráfica

Una vez que tenemos todos los puntos, los ubicamos en la gráfica y trazamos la función

Con la gráfica dibujada podemos hacer las siguientes conclusiones sobre extremos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía y de concavidad:

1. La función es creciente y negativa en el intervalo (-\infty, 0)
2. La función alcanza un máximo relativo en el punto C_1(0, 0) , que también es un cero, pero no es un punto de inflexión
3. La función es cóncava hacia abajo en el intervalo (-\infty, 1)
4. La función tiene un punto de inflexión en C_4(1, -3)
5. La función es decreciente en el intervalo (0, 8)
6. La función alcanza un mínimo relativo en el punto C_3(8, -16)
7. La función tiene un cero que atraviesa el eje x en el punto C_2(125/8, 0)
8. La función es creciente en el intervalo (8, +\infty)
9. La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (1, +\infty)

¡Pon a prueba tus conocimientos!

La siguiente prueba no cuenta con un límite de tiempo, podrás practicar las veces que lo necesites, al finalizar esta actividad podrás conocer los resultados obtenidos. Para que esta prueba se marque como completa deberás de obtener como mínimo un 70% de calificación. Haz clic en “Empezar Cuestionario” para comenzar.

¡Éxito!