Matemáticas V: Cálculo Diferencial (P2022)

Capítulo 1 - Límites
1.1 Límites y continuidad
Lectura – Newton y Leibniz: Pioneros del cálculo diferencial e integral
Kahoot! – Límites y continuidad
Actividad – Límites laterales
Actividad – Propiedades de los límites
1.2 Discontinuidades evitables
Lectura – Teorema del Sandwich: Encerrando funciones y encontrando límites
Kahoot! – Discontinuidades evitables
Actividad – Discontinuidad evitable por factorización
Actividad – Discontinuidad evitable por racionalización
1.3 Límites infinitos
Lectura – La interpretación del infinito en matemáticas y ciencias
Kahoot! – Límites infinitos
Actividad – Discontinuidades inevitables
1.4 Límites al infinito
Lectura – Entre lo finito y lo infinito: límites al infinito y la paradoja de Hilbert
Kahoot! – Límites al infinito
Actividad – Indeterminación ∞/∞
Actividad – Indeterminación ∞-∞
Capítulo 2 - Derivadas
2.1 Definición de la derivada
Lectura – Regla de los cuatro pasos en cálculo diferencial
Kahoot! – Definición de la derivada
Actividad – Límites y derivadas
2.2 Derivadas de funciones algebraicas
Lectura – Derivadas de orden superior
Kahoot! – Derivadas de funciones algebraicas
Actividad – Reglas básicas para derivar
Actividad – Derivadas de orden superior
2.3 Regla de la cadena y funciones trascendentes
Lectura – Derivación logarítmica
Kahoot! – Regla de la cadena y funciones trascendentes
Actividad – Derivadas de funciones trascendentes
Actividad – Regla de la cadena
2.4 Derivadas implícitas
Lectura – El Método de Newton: raíces de funciones
Kahoot! – Derivadas implícitas
Actividad – Derivación implícita
Capítulo 3 - Aplicaciones de la derivada
3.1 Criterio de la primera derivada
Lectura – El teorema del valor medio
Kahoot! – Criterio de la primera derivada
Actividad – Extremos y monotonía de funciones
3.2 Criterio de la segunda derivada
Lectura – Optimización de inversiones
Kahoot! – Criterio de la segunda derivada
Actividad – Concavidad y puntos de inflexión
3.3 Trazo de funciones
Lectura – El papel de las derivadas en la construcción de gráficas
Kahoot! – Trazo de funciones
Actividad – Análisis gráfico de una función
3.4 Optimización y razones de cambio
Lectura – Principio de Fermat, geodésica y braquistócrona: mínimos en la naturaleza
Lectura – 2da ley de Newton: una ecuación con derivadas
Kahoot! – Optimización y razones de cambio
Actividad – Optimización
Actividad – Razones de cambio
3.5 Regla de L’Hôpital
Lectura – Regla de L’Hôpital para funciones exponenciales
Kahoot! – Regla de L’Hôpital
Actividad – Indeterminaciones en funciones trascendentes
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Actividad – Razones de cambio

Matemáticas V: Cálculo Diferencial (P2022) 3.4 Optimización y razones de cambio Actividad – Razones de cambio

Aplicación de cálculo en economía

A la razón de cambio instantánea del costo total de producción C(x) respecto a la cantidad de unidades producidas x se le llama costo marginal.

Supongamos que en una empresa el costo de producción de algún artículo está dado por

C(x)=10+5x+\frac{100}{x}

¿cuál es el costo marginal cuando se han producido 50 unidades?

Debemos calcular la primera derivada y después evaluar en x=50 

C'(x)=5-\frac{100}{x^2}
C'(50)=5-\frac{100}{50^2}=4.96

Cuando el número de unidades es grande, podemos pensar en el costo marginal como el costo de producir una unidad más. Calculemos el costo de producir 50 y 51 artículos, respectivamente:

C(50)=10+5(50)+\frac{100}{50}=262\\\ \\
C(51)=10+5(51)+\frac{100}{51}=266.96

El incremento del costo por producir una unidad más de 50 es

C(51)-C(50)=266.96-262=4.96=C'(50)
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