Lectura – Derivación logarítmica

¿Qué es la derivación logarítmica?

La derivación logarítmica es una valiosa técnica del cálculo diferencial que nos permite encontrar la derivada de una función al aprovechar las propiedades de los logaritmos. Si bien es útil para resolver diversas derivadas, su aplicación destaca especialmente en las funciones de tipo potencial-exponencial:

f(x)=g(x)^{\phi(x)}

Cuando nos enfrentamos a funciones que contienen logaritmos o exponenciales, la derivación logarítmica se convierte en una herramienta poderosa para simplificar la derivación. Esta técnica se basa en la propiedad de que el logaritmo natural de una función exponencial se relaciona directamente con su derivada. Así, al emplear logaritmos, podemos transformar una función exponencial complicada en una más manejable, permitiéndonos calcular su derivada con mayor facilidad.

Es importante destacar que la derivación logarítmica no se limita exclusivamente a funciones exponenciales, sino que puede emplearse en combinación con otras técnicas de cálculo, como la regla del producto o la regla de la cadena, para abordar funciones más complejas y obtener derivadas precisas.

Para aplicar la derivación logarítmica es importante recordar las propiedades de los logaritmos:

\begin{matrix}
1.\ log(a^b)=b\cdot log(a)\\ \\
2.\ log(a \cdot b)=log(a)+log(b)\\ \\
3.\ log(\frac{a}{b})=log(a)-log(b)\end{matrix}

¿Cómo se aplica en funciones exponenciales?

Comencemos con la función f(x)=x^x . Como primer paso aplicamos logaritmos en ambos lados de la ecuación y simplificamos con las reglas de los logaritmos.

\begin{matrix}
f(x)=x^x \Rightarrow ln(f(x))=ln(x^x)\\ \\
ln(f(x))=ln(x^x) \Rightarrow ln(f(x))=xln(x)\end{matrix}

Una vez simplificada, procedemos a derivar la ecuación en ambos lados y simplificamos hasta llegar a un resultado de f’(x).

\begin{matrix}
D[ln(f(x))]=D[xln(x)] \Rightarrow \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= ln(x) + \frac{x}{x}\\ \\ 
f'(x)= f(x) \cdot (ln(x)+1)=x^x \cdot (ln(x)+1)\end{matrix}

¿Cómo se aplica en funciones potenciales?

Para funciones exponenciales como: f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{2x^2+3}\cdot \sqrt[3]{x^2+1}}{x^2} , aplicamos el mismo procedimiento descrito en la sección anterior. Como primer paso aplicamos logaritmos en ambos lados de la ecuación.

f(x)=\frac{\sqrt{2x^2+3}\cdot\sqrt[3]{x^2+1}}{x^2}\Rightarrow ln(f(x))=ln\left(\frac{\sqrt{2x^2+3}\cdot\sqrt[3]{x^2+1}}{x^2}\right)

Simplificamos la ecuación mediante las reglas de los logaritmos

\begin{split}
ln(f(x)) & = ln\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2x^2+3}\cdot\sqrt[3]{x^2+1}}{x^2}\right)\\
&=ln\left(\sqrt{2x^2+3}\cdot\sqrt[3]{x^2+1}\right)-ln(x^2)\\ 
&=ln\left(\sqrt{2x^2+3}\right)+ln\left(\sqrt[3]{x^2+1}\right)-ln(x^2)\\
&=\frac{1}{2}ln(2x^2+3)+\frac{1}{3}ln(x^2+1)-2ln(x) 
\end{split}

Una vez simplificada, procedemos a derivar la ecuación en ambos lados

\begin{matrix}
D[ln(f(x))]=D\left[\displaystyle\frac{1}{2}ln(2x^2+3)+\frac{1}{3}ln(x^2+1)-2ln(x)\right]\\ \\
\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{2x^2+3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)-2\left(\frac{1}{x}\right) \end{matrix}

Simplificamos hasta llegar a un resultado de f’(x).

f'(x)=f(x)\cdot\left[\frac{2x}{2x^2+3}+\frac{2x}{3x^2+3}-\frac{2}{x}\right]

De esta manera y sustituyendo f(x) podemos obtener la derivada como:

f'(x)=\left[\frac{\sqrt{2x^2+3}\cdot \sqrt[3]{x^2+1}}{x^2}\right]\cdot\left[\frac{2x}{2x^2+3}+\frac{2x}{3x^2+3}-\frac{2}{x}\right]