Lectura – El Método de Newton: raíces de funciones

¿Qué es el método de Newton?

El método de Newton, también conocido como el método de Newton-Raphson, es un algoritmo iterativo utilizado para aproximar las raíces de una función continua y diferenciable. Es uno de los métodos más utilizados para resolver problemas de búsqueda de ceros de funciones.

La idea principal detrás del método de Newton es comenzar con una suposición inicial cercana a la raíz deseada y luego mejorar esa suposición iterativamente para acercarse más a la raíz. Si f(x) es la función que queremos resolver, la ecuación para actualizar nuestra suposición inicial x en cada iteración se puede expresar como:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} 

Donde:

• x_n es la suposición inicial en la n-ésima iteración.
• f(x_n) es el valor de la función en x_n.
• f'(x_n) es el valor de la derivada de la función en x_n.

El proceso continúa iterativamente hasta que se alcanza una convergencia suficiente o hasta que se alcanza un número máximo de iteraciones predefinidas.

El método de Newton tiene la ventaja de converger rápidamente si la suposición inicial es lo suficientemente cercana a la raíz y si la función es suficientemente “suave” (es decir, tiene derivadas continuas). Sin embargo, puede haber casos en los que el método no converja o converja a una raíz incorrecta si la suposición inicial es demasiado lejana o si hay puntos de inflexión cerca de la raíz.

Es esencial tener en cuenta que el método de Newton requiere conocer la derivada de la función, lo que puede ser un desafío en algunos casos. Si no se dispone de la derivada analítica, es posible utilizar métodos numéricos para aproximarla.

¿Cómo se usa el método de Newton?

El método de Newton se puede aplicar de manera práctica y efectiva para encontrar raíces (ceros) de funciones en diferentes situaciones.

1. Definir la función: Comienza por tener una función f(x) cuyas raíces deseas encontrar. Asegúrate de que la función sea continua y derivable en el intervalo donde esperas encontrar la raíz.

2. Escoger una suposición inicial: Selecciona una suposición inicial x_0 cercana a la raíz que estás buscando. La elección de esta suposición inicial es crucial, ya que puede afectar la convergencia del método.

3. Calcular la derivada: Encuentra la derivada f'(x) de la función f(x) . Esta es una parte esencial del método de Newton y puede requerir cálculos analíticos o aproximaciones numéricas, dependiendo de la complejidad de la función.

4. Aplicar la fórmula iterativa: Usa la fórmula del método de Newton para mejorar la suposición inicial y obtener una aproximación más cercana a la raíz deseada:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} 

5. Repetir el proceso: Repite el paso 4 aplicando la fórmula iterativa varias veces hasta que obtengas una aproximación suficientemente cercana a la raíz o hasta que se alcance un criterio de convergencia preestablecido.

6. Verificar la convergencia: Es esencial verificar si el método de Newton está convergiendo a una raíz adecuada. Puedes hacerlo comparando sucesivas aproximaciones para asegurarte de que están convergiendo a un valor común.

7. Terminar el proceso: Puedes establecer un número máximo de iteraciones o un criterio de tolerancia para determinar cuándo se ha alcanzado una aproximación satisfactoria. Si la aproximación cumple con el criterio, se considera una aproximación de la raíz.

8. Considerar posibles problemas: Ten en cuenta que el método de Newton no muy a menudo converge o puede converger a raíces incorrectas si la suposición inicial está muy lejos de la raíz real o si hay puntos de inflexión cercanos.

Ejemplo

Estimar el valor de \sqrt{7} con cinco cifras decimales:

Poniendo esto como una función lo que se nos pide estimar el cero real positivo de f(x)=x^2-7 con esto podemos llegar a determinar mediante la gráfica de la función que se encontrará en el intervalo de -2<r<3. Por lo que teniendo la función definida y el intervalo a evaluar, procederemos a encontrar la derivada de la función y aplicar la fórmula.

\begin{matrix}
f’(x)=2x\\ \\
x_{n+1} = x_n - \displaystyle\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^{2}-7}{2x_n}\end{matrix}

Ahora escojamos un valor para x_1 el cual debe estar dentro del rango mencionado, por lo que podemos considerar x_1=2.5. Aplicando la fórmula para n=1 obtenemos:

x_{2} = 2.5 - \frac{(2.5)^2-7}{2(2.5)}=2.65

Aplicando desde n=2 hasta n=3 podemos obtener:

\begin{matrix}
x_{3} = 2.65 - \displaystyle\frac{(2.65)^2-7}{2(2.65)}=2.64575\\ \\
x_{4} = 2.64575 - \displaystyle\frac{(2.64575)^2-7}{2(2.64575)}=2.64575\end{matrix}

Con esto ya podemos observar una convergencia de los valores consecutivos de x_n con el grado de precisión deseado, por lo cual podemos determinar que \sqrt{7}\approx2.64575