Lectura – El teorema del valor medio

¿Qué es el teorema del valor medio?

El teorema del valor medio es un resultado fundamental en el cálculo diferencial que establece una relación entre la derivada de una función continua en un intervalo y el valor promedio de la función en ese mismo intervalo. Este teorema fue propuesto por primera vez por el matemático francés Augustin-Louis Cauchy.

Enunciado del teorema del valor medio:

Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Matemáticamente, esto se expresa como:

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

donde c es un valor entre a y b.

Interpretación geométrica:

El teorema del valor medio garantiza que en algún punto del intervalo (a, b), la tangente a la curva de la función f(x) es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Esto significa que en algún punto de dicho intervalo, la velocidad instantánea de cambio de la función es igual a la velocidad promedio de cambio en todo el intervalo.

Implicaciones del teorema del valor medio:

1. El teorema del valor medio se utiliza para demostrar otros resultados importantes en cálculo, como el teorema fundamental del cálculo.
2. Permite encontrar puntos críticos, donde la pendiente de la función es cero o inexistente, lo que ayuda a determinar máximos y mínimos locales.
3. El teorema del valor medio también se aplica en la demostración del teorema de Rolle, que establece que si una función es continua en [a, b], diferenciable en (a, b), y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) donde f'(c) = 0.

Si la función no es continua o no es diferenciable en el intervalo, el teorema podría no ser válido.

Ejemplo:

Para f(x)=\sqrt{x} en el intervalo  [0,9], demuestre que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio, y por tanto existe al menos un valor c\in(0,9) tal que f'(c) es igual a la pendiente de la línea que une (0,f(0)) y (9,f(9)). Halla el valor de c.

Sabemos que f(x)=\sqrt{x} es continua en el intervalo [0,9] y diferenciable, por lo cual podemos aplicar el teorema del valor medio para calcular c.

Como primera parte tenemos que calcular la derivada de la función f:

f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Una vez calculada la derivada podemos proceder a calcular la pendiente de la línea que une a los puntos

m=\frac{f(9)-f(0)}{9-0}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{0}}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

Una vez que hemos encontrado este valor podemos encontrar el valor de c tal que m=f’(c)

\begin{matrix}
\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{3}\\ \\
c=\displaystyle\frac{9}{4} \end{matrix}

En la gráfica observamos la función f(x)=\sqrt{x}, la recta que une los puntos (0,0) y (9,3) y la recta tangente a f que es paralela a la primera recta.