Lectura – Regla de L’Hôpital para funciones exponenciales
Veamos cómo podemos aplicar la regla de L’Hôpital a funciones que involucran términos exponenciales.
Supongamos que tenemos una función f(x) y g(x), donde ambas son funciones exponenciales y tenemos la indeterminación 0^0, \infty^0 o 1^{\infty} cuando evaluamos el límite de [f(x)]^{g(x)} cuando x tiende a un punto a. Para utilizar la regla de L’Hôpital en esta situación, procedemos de la siguiente manera:
Paso 1: Evaluar la indeterminación
Calcular f(a) y g(a), donde a es el punto al cual se está acercando la variable x.
Paso 2: Reescribir en forma exponenial-logarítmica
\begin{matrix}
ln(y)=ln([f(x)]^{g(x)})=g(x)ln(f(x))\\ \\
y=\large e^{g(x)ln(f(x))}\end{matrix}
Paso 3: Tomar el límite y usar la propiedad de composición de límites
\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}= \lim_{x \to a} e^{g(x)ln(f(x))}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)ln(f(x))}Paso 4: Calcular el límite obtenido
\lim_{x \to a} g(x)ln(f(x))=L
Paso 5: Determinar el límite inicial
\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}=e^LEjemplo
Para ilustrar la aplicación de la regla de L’Hôpital para funciones exponenciales, consideremos el siguiente límite:
\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{x^2}}Paso 1:
\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{x^2}}=\lim_{x \to 0} (\cos(0))^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{0^2}}=1^\inftyPaso 2:
y=\large e^{\normalsize\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}Paso 3:
\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{x^2}}= \lim_{x \to 0} e^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}= e^{\normalsize\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}Paso 4:
\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))= \lim_{x \to 0} \frac{3 \ln(\cos(2x))}{x^2}=\frac{3 \ln(\cos(0))}{0^2}=\frac{0}{0}Aplicamos la regla de L’Hôpital para forma de cociente
\lim_{x \to 0} \normalsize\displaystyle\frac{3\cdot\normalsize\displaystyle\frac{-2\,\mathrm{sen}(2x)}{\cos(2x)}}{2x}=\lim_{x \to 0} \normalsize\displaystyle\frac{-3\tan(2x)}{x}=\frac{0}{0}Como obtuvimos una forma indeterminada de nuevo, aplicamos la regla una vez más
\lim_{x \to 0} \frac{-6\sec^2(2x)}{1}=-6\sec^2(0)=-6Paso 5:
\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\normalsize\displaystyle\frac{3}{x^2}}=e^{-6}