Lectura – Teorema del Sandwich: Encerrando funciones y encontrando límites

¿Qué es el teorema del sándwich?

El teorema del sandwich, también conocido como el teorema del límite del sandwich o el teorema del apretón. Este teorema es una herramienta importante en cálculo que se utiliza para determinar el límite de una función cuando se encuentra atrapada entre dos funciones conocidas.

El teorema del sandwich establece lo siguiente: Supongamos que tenemos tres funciones, f(x) , g(x) y h(x) , definidas en un intervalo alrededor de un punto c, excepto posiblemente en el propio punto c. Si para todos los valores de x en ese intervalo (excepto posiblemente en c) se cumple que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , y además se tiene que:

\lim_{x \to c}f(x)= \lim_{x \to c}h(x)=L

Entonces tenemos que:

\lim_{x \to c}g(x)=L

En términos más simples, si una función g(x) está “atrapada” entre dos funciones f(x) y h(x) , y las dos funciones f(x) y h(x) se acercan al mismo límite L a medida que x se acerca a cierto punto c, entonces g(x) también debe acercarse a L cuando x se acerca a c.

Este teorema es útil cuando no es fácil calcular el límite directamente, pero se puede encontrar una función superior e inferior que encierra a la función en cuestión. El teorema del sandwich proporciona una garantía de que el límite existe y tiene un valor específico.

¿Cómo es que se puede aplicar?

El teorema del sandwich se aplica siguiendo los siguientes pasos:

Identifica las tres funciones: Para utilizar el teorema del sandwich, necesitas tener tres funciones: f(x) , g(x) y h(x) , definidas en un intervalo alrededor del punto c en consideración.

Verifica las desigualdades: Comprueba que la función g(x) esté “atrapada” entre las funciones f(x) y h(x) . Es decir, para todos los valores de x en el intervalo (excepto posiblemente en c), debe cumplirse que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) .

Encuentra \lim_{x \to c}f(x)=L y \lim_{x \to c}h(x)=L : A continuación, calcula los límites de las funciones f(x) y h(x) cuando x se acerca a c. Si ambos límites son iguales y tienen un valor L, esto significa que las funciones f(x) y h(x) se acercan a L a medida que x se acerca a c.

Concluye \lim_{x \to c}g(x) : Según el teorema del sandwich, si las funciones f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) y los límites de f(x) y h(x) son iguales a L, entonces el \lim_{x \to c}g(x)=L , cuando x se acerca a c.

Es importante destacar que el teorema del sandwich solo proporciona información sobre el límite de la función en cuestión. No garantiza que la función en sí sea continúa o que los límites laterales existan. El teorema solo se aplica a la existencia del límite en un punto específico.

¿Cómo se aplica?

Calcula el límite de la función f(x) = \frac{sin (x)}{x} cuando x tiende a +\infty.

Como el seno toma valores en el intervalo [-1,1]

-1\leq sin(x) \leq 1

Ahora bien, si dividimos la desigualdad entre x podemos obtener que:

\frac{-1}{x}\leq \frac{sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}

Con esto podemos identificar que f(x)=\frac{-1}{x} y h(x)=\frac{-1}{x} lo que nos lleva a calcular sus límites

\begin{matrix}
\lim_{x \to +\infty}\frac{-1}{x}=0\\ \\
\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0\\ \\
\lim_{x \to +\infty}\frac{-1}{x}= \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}\end{matrix}

Entonces Podemos concluir por el teorema del sandwich que:

\lim_{x \to +\infty}\frac{sin(x)}{x}=0