Definición formal de límite

Gracias al estudio riguroso de límites es posible demostrar todos los teoremas que estudiamos en el capítulo uno. La definición formal no se usa para obtener el valor de algún límite, sino para probar si un resultado es correcto.

Teoría Capítulo 4 – Lección 4.1

Ejercicios I – Lección 4.1

Definición épsilon-delta

Supongamos que una función f está definida en algún intervalo abierto alrededor de x=c , excepto posiblemente en x=c . Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L , denotado como

\lim\limits_{x \to c}f(x)=L

si para todo número \varepsilon>0 existe un número \delta>0 tal que

0<|x-c|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon

Ejemplo: Demostrar que \lim\limits_{x \to 3}(x^2+x-5)=7

Dado un \varepsilon>0 arbitrario, debemos encontrar un \delta>0 tal que

0<|x-3|<\delta\ \Longrightarrow\ |x^2+x-5-7|<\varepsilon

Partimos de la segunda inecuación absoluta, simplificando primero y después factorizando

\begin{split}
|x^2+x-5-7| & = |x^2+x-12| \\
 & = |(x+4)(x-3)| \\
& = |x+4||x-3| \\
& <\varepsilon
\end{split}

Supongamos que C es una constante positiva tal que |x+4|<C . Entonces podemos reescribir la desigualdad

|x+4||x-3| < C|x-3|

y de nuestra suposición original para \varepsilon

C|x-3| < \varepsilon\\ \ \\ 
|x-3| < \frac{\varepsilon}{C}

Comparando esta desigualdad con la original para \delta podemos definir \delta=\varepsilon/C . Ahora podemos asignar algún valor de prueba para \delta , digamos 1 , y resolver la última inecuación

|x-3| < 1 \Rightarrow -1 < x-3 < 1 \Rightarrow 2 < x < 4 

Al último resultado le damos forma similar a la que usamos al definir |x+4|<C

2 < x < 4 \Rightarrow 6 < x+4 < 8\\\ \\
|x+4|<8\therefore C=8

Al encontrar el valor de C tenemos dos posibles opciones para \delta , que puede ser 1 o \varepsilon/8 . La demostración se completa al sustituir ambos valores de delta y mostrar que, bajo nuestras suposiciones, la desigualdad |x+4||x-3|<\varepsilon se cumple.