Problemas de optimización

Una de las aplicaciones más útiles del cálculo es la determinación de máximos y mínimos en problemas de la vida diaria, de la industria y de finanzas. Por ejemplo podemos optimizar las dimensiones de un contenedor para que contengan el mayor volumen posible, o determinar el número de artículos que se deben producir para minizar las pérdidas.

Teoría Capítulo 3 – Lección 3.4

Ejercicios I – Lección 3.4

Ejemplo de optimización

Determina la longitud de la escalera más corta que llega desde el piso, sobre un muro de 5 m de altura, hasta una pared de un edificio a 0.5 m de distancia del muro.

A partir de la figura mostrada podemos construir dos triángulos rectángulos semejantes cuyas hipotenusas l_1, l_2 forman la longitud l=l_1+l_2 de la escalera

Usamos el teorema de Tales para encontrar una ecuación secundaria y despejar una de las incógnitas

\frac{y}{5}=\frac{1/2}{x}\ \Longrightarrow\ y=\frac{5}{2x}

Con el teorema de Pitágoras calculamos l_1 y l_2

{l_1}^2=x^2+5^2\ \Longrightarrow\ l_1=\sqrt{x^2+25}\\\ \\
{l_2}^2=\left(\frac{5}{2x}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\ \Longrightarrow\ l_2=\frac{\sqrt{x^2+25}}{2x}

La ecuación primaria es la expresión para la longitud de la escalera en función de una única variable

l(x)=l_1+l_2=\sqrt{x^2+25}\left(1+\frac{1}{2x}\right)

Buscamos los puntos críticos de la función y determinamos el valor mínimo

l'(x)=0 \\\ \\
\sqrt{x^2+25}\left(-\frac{1}{2x^2}\right)+\left(1+\frac{1}{2x}\right)\cdot \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+25}}=0\\\ \\
\frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+25}}=\frac{\sqrt{x^2+25}}{2x^2}\\\ \\
2x^2(x+1/2)=\sqrt{x^2+25}\cdot \sqrt{x^2+25}\\\ \\
2x^3+x^2=x^2+25\\\ \\
x=\sqrt[3]{\frac{25}{2}}\approx2.32

Encontramos que en x=2.32 existe un punto crítico. Para confirmar que es un mínimo relativo evaluamos la expresión para la longitud de la escalera en este número y en valores cercanos

l(2)\approx 6.73,\ \ l(2.32)\approx 6.69,\ \ l(2.5)\approx 6.71

Como l es menor en el punto crítico que en los puntos cercanos a su izquierda y derecha, confirmamos que se trata de un mínimo. Por lo tanto, la longitud de la escalera más corta es l=6.69\ m