Regla de L’Hôpital

Este teorema proporciona un método para evaluar límites de funciones trascendentes con indeterminación en forma de cociente.

Teoría Capítulo 4 – Lección 4.2

Ejercicios I – Lección 4.2

Ejercicios II – Lección 4.2

Teorema de L’Hôpital

Regla de L’Hôpital para formas del tipo 0/0

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=0 y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0} \frac{sen\ nx}{sen\ mx}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0} sen\ nx=sen(0)=0,\ \ \lim\limits_{x \to 0} sen\ mx=sen(0)=0

Ahora podemos reemplazar el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado (no debe usarse la regla para la derivada de un cociente)

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{sen\ nx}{sen\ mx} \
 & = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(sen\ nx)'}{(sen\ mx)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \frac{n\ cos\ nx}{m\ cos\ mx} \\
&= \frac{n\ cos(0)}{m\ cos(0)} \\
&= \frac{n}{m}
\end{split}

Regla de L’Hôpital para formas del tipo \infty/\infty

Dadas dos funciones f y g diferenciables, si \lim\limits_{x \to \alpha}|f(x)|=\lim\limits_{x \to \alpha}|g(x)|=\infty y \lim\limits_{x \to \alpha} \left[ f'(x)/g'(x) \right] existe, ya sea en sentido finito o infinito, entonces

\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}

donde \alpha puede representar un límite finito lateral o bilateral c, c^+, c^- o un límite al infinito positivo o negativo \pm \infty .

Por ejemplo, consideremos el límite

\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{ln\ x}{csc\ x}

Evaluamos cada límite por separado para identificar la forma indeterminada

\lim\limits_{x \to 0^+} ln\ x=-\infty,\ \ \lim\limits_{x \to 0^+} csc\ x=+\infty

Ahora reemplazamos el límite original por aquel en el que derivamos el numerador y denominador por separado

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{ln\ x}{csc\ x} \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{(ln\ x)'}{(csc\ x)'} \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-csc\ x\ cot\ x} 
\end{split}

El último límite de nuevo tiene la forma indeterminada \infty/\infty . Una posible solución sería aplicar de nuevo la regla, sin embargo, al hacerlo solo se volverían más complicadas las expresiones en el numerador y denominador. En su lugar, reescribimos las expresiones

\begin{split}
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-csc\ x\ cot\ x}  \
 & = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{1}{x\ csc\ x}\cdot \frac{1}{cot\ x}\right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} \left(-\frac{sen\ x}{x}\cdot tan\ x \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0^+} -\frac{sen\ x}{x}\cdot \lim\limits_{x \to 0^+} tan\ x  \\
& =(-1)(0) \\
& = 0
\end{split}

donde hemos usado el límite (visto en la lección de teoría)

\lim\limits_{x \to 0} \frac{sen\ x}{x}=1