Derivadas implícitas

Cuando la variable dependiente se expresa de forma implícita puede calcularse la derivada aplicando la regla de la cadena.

Teoría Capítulo 2 – Lección 2.4

Ejercicios I – Lección 2.4

Derivada en una ecuación implícita

Una ecuación explícita para la variable dependiente y , en función de la variable independiente x , es aquella en la que podemos despejar la variable y en un solo miembro de la ecuación, y es de la forma

y=f(x)

En una ecuación implícita para la variable dependiente y y la variable independiente x no siempre es posible (o sencillo) despejar en un solo miembro la variable y , y tiene como posibles formas

f(x, y)=cte,\  F(y)=G(x)

Por ejemplo, la ecuación sen\ y=x es implícita en esta forma, pero se puede reescribir como y = arcsen\ x cuando despejamos y . Ya conocemos que la derivada de la segunda forma es

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

la cual es una forma explícita de la derivada. Sin embargo, podemos usar la regla de la cadena en la primera forma de la ecuación para calcularla de forma implícita

\frac{d}{dx}\left(sen\ y=x\right)

cos\ y\cdot \frac{dy}{dx}=1

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos\ y}=sec\ y

En un triángulo rectángulo, la ecuación sen\ y=x implica que el cateto opuesto es x y la hipotenusa es 1 , por lo que podemos calcular el cateto adyacente con el teorema de Pitágoras como \sqrt{1-x^2} . Por tanto, el coseno se puede escribir como cos\ y=\sqrt{1-x^2} y el recíproco de éste es la secante, es decir

sec\ y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

que coincide con el primer resultado.