Trazo de funciones

Con los criterios de la primera y segunda derivada podemos localizar puntos importantes en la gráfica de una función y con ello hacer un bosquejo más preciso.

Teoría Capítulo 3 – Lección 3.3

Ejercicios I – Lección 3.3

Gráfica de una función

Analizaremos la función f(x)=2x^{5/3}-5x^{4/3} para realizar un bosquejo de su gráfica.

a) Ceros

Resolvemos la ecuación f(x)=0 para determinar las intersecciones con el eje x

2x^{5/3}-5x^{4/3}=x^{4/3}\left(2x^{1/3}-5\right)=0\\\ \\ 
x^{4/3}=0 \Longrightarrow x=0^{3/4}\Longrightarrow x_1=0\\\ \\
2x^{1/3}-5=0 \Longrightarrow x=\left(\frac{5}{2}\right)^3\Longrightarrow x_2= \frac{125}{8}

Los ceros son los puntos C_1(0, 0) y C_2(125/8, 0)

b) Ordenada al origen

Es el punto donde se cruza al eje y en x=0 . Como f(0)=0 coincide con uno de los ceros: C_1(0, 0)

c) Puntos críticos

En los puntos críticos puede (o no) localizarse los extremos. Como la primera derivada f'(x)=\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3} está definida en todo punto, no hay puntos singulares, solo puntos estacionarios donde f'(x)=0

\frac{10}{3}x^{2/3}-\frac{20}{3}x^{1/3}=\frac{10}{3}x^{1/3}\left(x^{1/3}-2\right)=0\\\ \\
\frac{10}{3}x^{1/3}=0\Longrightarrow x=\left(\frac{3\cdot0}{10} \right)^{3}\Longrightarrow x_1 =0\\\ \\
x^{1/3}-2=0\Longrightarrow x=2^{3}\Longrightarrow x_2=8

Los puntos críticos y posibles extremos son los puntos C_1(0, 0) y C_3(8, -16)

d) Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión se localizan donde la segunda derivada vale cero o es indefinida. Como esta función está dada por f''(x)=\frac{20}{9}x^{-1/3}-\frac{20}{9}x^{-2/3}=\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}} tendrá de los dos tipos de puntos, ya que en x=0 es indefinida

\frac{20}{9x^{1/3}}-\frac{20}{9x^{2/3}}=\frac{20}{9x^{2/3}}\left(x^{1/3}-1\right)=0\\\ \\
\frac{20}{9x^{2/3}}\to \infty \Longrightarrow x_1 =0\\\ \\
x^{1/3}-1=0\Longrightarrow x_2=1

Los posibles puntos de inflexión son los puntos C_1(0, 0) y C_4(1, -3)

e) Signo de la función antes del primer cero

Para ubicar desde qué región comienza la gráfica, determinamos el valor de la función en algún valor de x que sea menor al primer cero. Por ejemplo tomemos x=-1

f(-1)=2(-1)^{5/3}-5(-1)^{4/3}=2(-1)-5(1)=-7

Por lo tanto, la función vendrá desde -\infty y crecerá hasta llegar al primer cero.

f) Ubicación de puntos y trazo de la gráfica

Una vez que tenemos todos los puntos, los ubicamos en la gráfica y trazamos la función

Con la gráfica dibujada podemos hacer las siguientes conclusiones sobre extremos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía y de concavidad:

1. La función es creciente y negativa en el intervalo (-\infty, 0)
2. La función alcanza un máximo relativo en el punto C_1(0, 0) , que también es un cero, pero no es un punto de inflexión
3. La función es cóncava hacia abajo en el intervalo (-\infty, 1)
4. La función tiene un punto de inflexión en C_4(1, -3)
5. La función es decreciente en el intervalo (0, 8)
6. La función alcanza un mínimo relativo en el punto C_3(8, -16)
7. La función tiene un cero que atraviesa el eje x en el punto C_2(125/8, 0)
8. La función es creciente en el intervalo (8, +\infty)
9. La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (1, +\infty)